СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г: в чем различие?

Я уже несколько раз сталкивался с тем, что существуют две статистики, обе называемые стандартное отклонение, для описания меры рассеивания случайной величины. Недавно это произошло при чтении книги Дональд Уилер, Дэвид Чамберс. Статистическое управление процессами. Чтобы эти статистики различать, в книге они названы по-разному. Корень из среднего квадрата отклонения s_n, определен для ряда, состоящего из n элементов формулой:

Стандартное отклонение рассчитывается по формуле:

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel

При этом авторы вскользь упоминают: «Несмотря на то что некоторые учебники говорят о применении s для генеральных совокупностей, а s_n — для выборок, и то, и то — статистики, они обе — просто арифметические функции данных». На мой взгляд, то ли авторы, то ли переводчики напутали, потому что, как раз наоборот. «Некоторые учебники» трактуют s_n, как меру рассеивания генеральной совокупности, а s, как меру рассеивания выборки.

Не добавляют понимания и определения в Википедии, где говорится, что s_n – среднеквадратичное отклонение, а s – стандартное отклонение, или оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии. В статье Несмещенная дисперсия можно прочитать, что s_n – выборочная дисперсия, а s – исправленная выборочная дисперсия. Причем s_n является смещённой, а s – несмещённой оценками параметра σ².

Excel не отстает от теории и содержит две функции для определения стандартного отклонения: СТАНДОТКЛОН.В – оценивает стандартное отклонение по выборке, и использует в формуле знаменатель (n – 1); СТАНДОТКЛОН.Г – вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности, и в знаменателе – n.

Ситуация с двумя формулами прояснилась для меня при чтении книги Фишер. Статистический вывод. Фишер рассматривал генеральные совокупности, которые описываются параметрами, традиционно обозначаемыми греческими буквами. Параметры нам не известны. Мы пытаемся оценить их, извлекая отдельные выборки, и измеряя их статистики (статистика – число, характеризующее выборку; статистики традиционно обозначаются латинскими буквами). Фишер сформулировал несколько критериев хорошей оценки. И среди них – смещение. Оценка статистики Т считается правильной и несмещенной для параметра Θ, если среднее значение Т (по множеству выборок) стремится к истинному значению Θ. Иначе оценка считается смещенной.

Для иллюстрации я создал модель в Excel, и случайным образом задал 10 000 чисел в диапазоне от 0 до 100. А затем создал 100 выборок по 100 последовательных значений: от 1 до 100, от 101 до 200 и т.д. Далее построил три графика: для среднего значения, СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В. На каждый график в виде пунктирной линии нанес среднее значение, СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В для всех 10 000 случайных чисел, а также в виде точек – скользящее среднее этих статистик для последовательности выборок. Например, первая точка – значение статистики для первой выборки: 1…100, вторая точка – среднее статистик двух выборок: 1…100 и 101…200 и т.д. Видно, что среднее выборок стремится к своему истинному значению – среднему по всей совокупности, так же ведет себя и СТАНДОТКЛОН.В. А вот скользящее среднее СТАНДОТКЛОН.Г стремится к числу меньшему, чем значение СТАНДОТКЛОН.Г для всех 10 000 чисел. Это и означает, что статистика СТАНДОТКЛОН.В дает несмещенную оценку параметра дисперсии σ², а СТАНДОТКЛОН.Г – смещенную.

Рис. 1. Три статистики – среднее значение, СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В – дают оценку параметров генеральной совокупности; среднее значение и СТАНДОТКЛОН.В – несмещенную оценку, а СТАНДОТКЛОН.Г – смещенную; откройте Excel-файл и нажмите F9; случайные числа пересчитаются, и графики изменятся; неизменным будет только стремление среднего значения и СТАНДОТКЛОН.В по выборкам к своим истинным значениям (по всей совокупности), и постоянно заниженная оценка статистики СТАНДОТКЛОН.Г; Excel-файл тяжелый, поэтому пересчет происходит медленно

Если тема вас заинтересовала, но не полностью отложилась в голове, рекомендую также заметку Выборочная несмещенная дисперсия.

Дополнение от 15.12.2022. Еще один подход к описанию различий формул (1) и (2) я встретил в книге Александра Орлова «Математика случая». Рекомендую))