Теория ожидаемой полезности и Санкт-Петербургский парадокс

Люди в осуществлении своей экономической деятельности неизбежно идут на риск. [1] Под риском понимается ситуация, когда, зная вероятность каждого возможного исхода, все же нельзя точно предсказать конечный результат. Рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с поведением человека в условиях неопределенности. Участие в лотерее – типичный пример рисковой деятельности.

Ожидаемое значение случайной величины (например, выигрыш или проигрыш в лотерее) подсчитывается по формуле математического ожидания:

Е(х) = р₁х₁ + р₂х₂ + … + p_nx_n

где р₁, р₂, … p_n – вероятности каждого исхода, х₁, х₂, … x_n – значения каждого исхода.

Скачать заметку в формате Word или pdf

При этом важно учитывать, что вероятности могут иметь различную природу, то есть быть как объективными, так и субъективными. Те ученые, которые придерживаются концепции объективной природы вероятностей, полагают, что значения вероятностей потенциально определимы на математической основе. Так, французский астроном, математик и физик Пьер Лаплас определял вероятность исследуемого события как отношение количества благоприятных исходов данного события к количеству всех возможных исходов (подробнее см. Пьер Симон Лаплас. Опыт философии теории вероятностей). Сторонники субъективного подхода (например, американский экономист и статистик Леонард Сэвидж) полагали, что вероятности – это степени убежденности в наступлении тех или иных событий. В любом случае, какую бы трактовку природы вероятностей мы ни приняли, нам важно различать математическое ожидание (предполагаемое значение исхода) и ожидаемую полезность.

Истоки математического обоснования теории ожидаемой полезности можно встретить в работах швейцарских математиков Габриэля Крамера и Даниила Бернулли, последний из которых предложил свое решение знаменитого Санкт-Петербургского парадокса (см. также Даниил Бернулли. Опыт новой теории измерения жребия).

Формулировка парадокса. Рассматривается следующая задача. Вступая в игру, игрок платит некоторую сумму, а затем подбрасывает монету (вероятность каждого исхода — 50 %), пока не выпадет орёл. При выпадении орла игра заканчивается, а игрок получает выигрыш, рассчитанный по следующим правилам. Если орёл выпал при первом броске, игрок получает 2⁰, при втором броске — 2¹ и так далее: при n-ном броске — 2^n-1. Другими словами, выигрыш возрастает от броска к броску вдвое, пробегая по степеням двойки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 и так далее.

Математическое ожидание денежного выигрыша при первом броске составляет р₁ * х₁ = 0,5*2⁰ = 0,5 * 1 = 0,5 доллара. При втором броске оно составит р₂ * х₂ = (0,5*0,5)*2¹ = 0,25*2 = 0,5 долл. Общее ожидаемое значение представляет собой сумму ожиданий на каждой стадии игры и = 0,5 долл. + 0,5 долл. + 0.5 долл. + … Сумма этого бесконечного ряда представляет бесконечно большую величину.

Нужно определить, какой размер вступительного взноса делает такую игру справедливой, то есть найти математическое ожидание выигрыша игрока. Парадокс заключается в том, что вычисленное значение этого справедливого взноса равно бесконечности, то есть выше любого возможного выигрыша. Иными словами суть парадокса: индивиды готовы заплатить относительно небольшую сумму денег за участие в игре, в которой математическое ожидание выигрыша бесконечно велико.

Итак, ожидаемый денежный выигрыш в игре бесконечен, однако большинство людей уклонится от участия в ней. Почему же так происходит? Чтобы объяснить Санкт-Петербургский парадокс, Д. Бернулли предположил, что в данном случае индивиды стремятся к максимизации не ожидаемого денежного выигрыша, а морального ожидания, впоследствии названного ожидаемой полезностью выигрыша. А это не одно и то же. Рассмотрим эту проблему подробнее в связи с отношением людей к риску.

Идеи Д. Бернулли получили развитие в работах американских экономистов Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна, которых часто называют основоположниками теории ожидаемой полезности. Они показали, что в условиях неполной информации рациональным выбором индивида будет выбор с максимальной ожидаемой полезностью. Ожидаемая полезность каждого варианта подсчитывается следующим образом:

U – ожидаемая полезность (от англ. utility),  где р_i – вероятность исхода, x_i – полезность исхода. Затем индивид сравнивает ожидаемые полезности вариантов и осуществляет выбор, стремясь максимизировать ожидаемую полезность. Каково же будет его отношение к риску?

Людям свойственно различное отношение к риску. В экономической теории принято выделять:

• нейтральных к риску;
• любителей риска;
• испытывающих антипатию к риску, или противников риска.

В некоторых случаях математическое ожидание при осуществлении рисковой деятельности может быть равно в денежном выражении нерисковому варианту, и все же люди поведут себя по-разному. Например, ваш должник вместо того, чтобы вернуть вам 10 долл., предлагает бросить монету. Если вы выиграете, то получите не 10, а 20 долл. (т. е. ваш чистый выигрыш составит 10 долл.), но если проиграете – не получите ничего (т. е. потеряете свои 10 долл.). Математическое ожидание Е(х) в этом случае составит: (0,5 * 10) + (0,5 * (–10+) = 0. Оно равно нулю, и получается, что вам, вроде бы, безразлично, играть в орлянку с должником или потребовать просто свои деньги назад.

Но кто-то пожелает пойти на риск в надежде получить больше, а кто-то предпочтет не предпринимать никаких действий, связанных с риском. Для того, чтобы объяснить выбор экономических агентов, необходимо включить в наш анализ концепцию ожидаемой полезности.

Практика показывает, что в основной своей массе люди не склонны к рисковой деятельности. Такое поведение обычно объясняется, помимо особенностей человеческой психики, чисто экономической причиной, а именно: действием закона убывающей предельной полезности.

Предположим, что у вас есть 100 долл. Вы можете сыграть в рулетку и поставить «на красное» 50 долл. В случае выигрыша у вас будет 150 долл.: 50 долл., которые вы не ставили, плюс 50 долл. * 2 – ваш выигрыш. Таким образом, вы увеличите свое первоначальное богатство, равное 100 долл., на 50 долл. В случае проигрыша у вас останется всего 50 долл., т. е. вы уменьшите свое первоначальное богатство на 50 долл. Математическое ожидание выигрыша в денежном выражении составит: (0,5 * 50) + (0,5 * (–50)) = 0.

Но предельная полезность, как видно из графика общей полезности, убывает, поэтому в условных единицах полезности ожидаемая полезность будет иметь отрицательное значение: (0,5 * (–2)) + (0,5 * 1) = –0,5.

Рис. 1. Кривая общей полезности для индивида, испытывающего антипатию к риску

Иначе говоря, в случае проигрыша ваши убытки будут в условных единицах полезности больше, чем ваше приобретение в случае выигрыша. Таким образом, в категориях полезности ситуация выглядит иначе, чем в денежном исчислении, и вы не будете склонны рисковать. Вот почему мы говорили ранее о необходимости различать математическое ожидание денежной суммы выигрыша и ее ожидаемую полезность. Выражаясь более простым языком, можно сказать, что, конечно, вам доставит радость получить больше того, что вы имеете, но для вас гораздо ощутимее будет потеря того, к чему вы уже привыкли. В экономической теории данный феномен получил название эффекта владения. Эффект владения заключается в том, что люди гораздо выше оценивают то, чем они владеют чем то, что пока им не принадлежит.

Возвращаясь к Санкт-Петербургскому парадоксу, мы можем теперь сказать, что индивиды, отказываясь от игры в подбрасывание монеты, несмотря на бесконечно большое значение математического ожидания, руководствуются, согласно гипотезе Бернулли, прежде всего ожидаемой полезностью выигрыша. А предельная полезность дохода с каждым его приростом снижается. При уменьшающейся предельной полезности денежного выигрыша люди будут требовать все возрастающих выплат, для того, чтобы компенсировать свой риск в случае проигрыша.

---

[1] Цитируется по учебнику для вузов Курс экономической теории под общей редакцией проф. Чепурина М.Н., проф. Киселевой Е. А., Киров. – «АСА», 2006. – стр. 191–195