Знакомый переслал мне любопытную задачку, встретившуюся на ЕГЭ по математике в 2012-м году. Задачка из раздела С6, то есть из самых сложных и высоко оцениваемых (4 балла). Вот ее условие:
Группа состоит из мальчиков и девочек и посещает театр и кино. Один человек может побывать:
- только в кино
- только в театре
- и в театре, и в кино
но обязательно хотя бы в одном месте.
1) В театр мальчиков может пойти не более 3/13 от всех, кто пошел в театр.
2) В кино мальчиков может пойти не более 4/9 от всех, кто пошел в кино.
Вопросы:
а) может ли в группу входить 10 мальчиков, если всего в группе 20 человек?
б) каким может быть максимальное число мальчиков, если всего в группе 20 человек?
в) какова наименьшая доля девочек в группе при любом количестве человек в группе?
Скачать ЕГЭ по математике 2012. Решение задачи С6 про мальчиков и девочек в формате Word2007
Лирическое отступление. В Интернете я не нашел ни одного ресурса, где бы были приведены правильные ответы на все три вопроса. При том, что арифметика решения задачи не выходит за рамки программы 3-го класса, требуется хорошо проработанная логика, чтобы «добраться» до этой простейшей арифметики. На мой взгляд, проблемы с решением возникают из-за того, что многие начинают решать с попытки ответить на первый (иногда второй) вопрос, и зацикливаются на мальчиках. Но, как говорят французы, Cherchez la femme (Шерше ля фам) – «ищите женщину». 🙂
Решение. Предлагаю начать с ответа на третий вопрос… Для того, чтобы число девочек в группе было как можно меньшим (или мальчиков как можно большим), необходимо, чтобы:
- условия 1) и 2) выполнялись в точности, то есть: в театр мальчиков идет 3/13 от всех, кто пошел в театр; в кино мальчиков идет 4/9 от всех, кто пошел в кино;
- никакие мальчики не идут в оба заведения, в то время как все девочки идут в оба заведения.
Обозначим число девочек, пошедших в театр, через Х. Составим пропорцию:
| Человек пошло в театр | Доля в числе пошедших в театр |
| девочек Х | 10/13 |
| мальчиков Y1 | 3/13 |
Y1 = 3/13 * Х : 10/13 = 3/10 Х
Составим аналогичную пропорцию для кино:
| Человек пошло в кино | Доля в числе пошедших в кино |
| девочек Х | 5/9 |
| мальчиков Y2 | 4/9 |
Y2 = 4/9 * Х : 5/9 = 4/5 Х
Всего в группе Х + 0,3Х + 0,8Х = 2,1Х человек, а доля девочек 1:2,1 или 10/21.
Ответ в). Наименьшая доля девочек в группе – 10/21
Понятно, что число девочек (как, впрочем, и мальчиков :)) не может быть не целым. Поэтому, если численность группы не кратна 21, то число, полученное как доля 10/21, должно быть округлено до целого в большую сторону (чтобы не нарушить неравенство – доля девочек не может быть меньше 10/21; только равна или больше 10/21).
Итак, если всего в группе 20 человек, то число девочек не может быть меньше 10/21*20 = 9,52, то есть 10 человек.
Ответ б). Если всего в группе 20 человек, максимальное число мальчиков составит 10 человек.
Ответ а). Да. Если всего в группе 20 человек, в группу может входить 10 мальчиков.