Выявление долгосрочной зависимости изменения курса доллара на основе R/S-анализа

Рубрика: 5. Экономика

Ранее я показал, что колебания курса рубля по отношению к доллару не подчиняются нормальному распределению. Доказательство основывалось на том, что кривая распределения колебаний курса уж никак не может быть описана стандартной гауссианой. Существует однако еще один изящный метод, о котором я узнал из книги Бенуа Мандельброта (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах – R/S-анализ. Звучит, возможно, несколько пугающе, но не напрягайтесь, для изучения метода математика понадобится, но не Бог весть какая… 🙂

Напомню, что гауссова статистика основана на одном маленьком, но, как оказывается, очень важном допущении – на независимости изучаемых событий. Если 100 раз подбросить монетку, и она 100 раз упадет орлом, то математик здорово удивится, и начнет считать вероятность столь редкого события. Практик же скажет, что с монетой что-то не то…

R/S-анализ используется для проверки наличия в ряду данных долгосрочной зависимости. Для прояснения названия метода скажем, что буква R обозначает Размах, а S – Стандартное отклонение. О размахе, как одном из параметров статистики, я уже писал ранее в заметке Контрольные карты Шухарта. Размах – разность максимального и минимального значения в выборке. Размах не так часто используется в статистике, поскольку на его величину значительно влияют разовые «выбросы». Тем не менее, в менеджменте качества это довольно важная характеристика. И вот мы встречаемся с этим понятием повторно. Таким образом, параметр R/S – это размах выборки, нормированный на стандартное отклонение по той же выборке. Если «выбросов» нет, то значение R/S мало, ну а если есть… Это проиллюстрировано на рис. 1. Среднее значение по выборке и стандартное отклонение на обоих графиках одинаково, а вот параметр R/S – разный.

Рис. 1. Влияние «выбросов» на значение параметра R/S

Скачать заметку в формате Word, модель R-S-анализ случайных событий и R-S-анализ курса доллара в формате Excel

Одно из основных преимуществ R/S-анализа заключается в том, что в отличие от многих широко распространенных статистических критериев, он не основан на каких бы то ни было предположениях об организации исходных данных (о том, какому закону распределения они подчиняются). Это важнейший фактор, когда мы исследуем такие явления, как, например, курс акций или валют, для которых явная ошибочность гауссовых подходов подтверждена многочисленными исследованиями. Формула R/S позволяет определить для различных периодов времени, будет ли размах большим или меньшим того, какого можно ожидать в случае, когда каждый отдельный элемент исходных данных не зависим от предыдущего. Если разброс отличается от ожидаемого, то важна точная последовательность данных: череда прибыльных или убыточных моментов смещает экстремальные значения дальше, чем в случае их возникновения по чистой случайности.

Для начала выполним R/S-анализ заведомо случайных данных. Воспользуемся следующей моделью (см. Excel-файл R-S-анализ случайных событий; лист «10»). С помощью функции СЛЧИС(), генерирующей случайные числа в диапазоне от 0 до 1, создадим последовательность из –1 (для СЛЧИС() < 0,5) и +1 (для СЛЧИС() ≥ 0,5). Этим мы создали временной ряд х = х1, х2, … х10 (столбец А на рис. 2).

Рис. 2. Временной ряд х из 10 последовательных значений х = х1, х2, … х10

Среднее значение хm временного ряда х будет определяться как:

xm = (х1 + х2 + … + х10)/n………………………………………………………………(1)

Стандартное отклонение Sn вычисляется по формуле:

Поскольку генератор случайных чисел не дает в точности равное количество отрицательных и положительных единиц (–1 и +1), то следует нормировать наш ряд х так, чтобы получить ряд, дающий среднее равное нулю. Для этого из каждого значения xt вычтем среднее по выборке xm:

yt = xtxm …………………..t = 1, 2, … n                                                                      (3)

Полученный ряд y имеет среднее равное нулю. На следующем шаге создадим кумулятивный временной ряд z:

z1 = y1;    zt = yt-1 + yt……………………………… t = 2, 3 … n                                (4)

На рис. 3 формула в ячейке Q2 реализует сразу три уравнения, описанные выше: (1), (3) и (4). Заметьте, что последний элемент ряда z (в нашем примере z10) всегда равно нулю, так как, по определению последний член нормированного кумулятивного ряда равен нулю.

Рис. 3. Кумулятивный нормированный временной ряд

Размах Rn:

Rn = max(z1, z2, … zt) – min(z1, z2, … zt) …………………………………………………..(5)

Индекс n в последнем уравнении означает, что размах определяется для временного ряда, содержащего n элементов. Поскольку кумулятивный рядz был скорректирован к среднему нулю, максимальное значение будет неотрицательным, а минимальное – неположительным. То есть, размах всегда больше нуля. Этот размах R является расстоянием, на которое перемещается система за время n. Для броуновского движения Эйнштейн обнаружил, что расстояние, которое проходит случайно блуждающая частица, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени:

R = T0,5 …………………………………………………..(6)

где R – пройденное расстояние, Т – время, в течение которого двигалась частица.

Для систем, которые (в отличие от броуновских) не являются независимыми, Херст предложил более общую формулу:

(R/S)n = c*nH …………………………………………………..(7)

где n – длина (время) ряда; для нашей модели – число элементов ряда; с – константа; Н – показатель Херста, названный так Мандельбротом в честь автора формулы (сам Херст использовал обозначение К). Видно, что для броуновского движения или любого иного процесса из независимых событий должны выполняться равенства с = 1, Н = 0,5. Если Н > 0,5, говорят, что процесс обладает долговременной памятью.

В ячейке Q11 (рис. 3) подсчитан параметр R/S:

=(МАКС(Q1:Q10)-МИН(Q1:Q10))/СТАНДОТКЛОНП(A:A)

Помимо временного ряда в столбце А я создал еще 15 временных рядов (столбцы с В по Р), а затем провел с ними описанные выше преобразования. Усреднение по этим 16 рядам позволило получить среднее значение (R/S)10 ≈ 3,3 ± 0,7.

На следующем шаге я создал аналогичные массивы для 20 элементов в каждом ряду, а затем для 40, 80, … 1280. Получилась следующая зависимость R/S от n. В таблице ниже каждое значение R/S получено путем усреднения по 16 временным рядам одинаковой длины.

n R/S
10 3,4
20 4,7
40 7,5
80 10,7
160 15,4
320 21,2
640 28,0
1280 44,6

Если функцию (R/S)n = f(n) построить в логарифмических координатах по обеим осям (рис. 4), то решение уравнения (7) относительно с и Н находится с помощью линейной аппроксимации (метода наименьших квадратов), так что с – расстояние, отсекаемое прямой на оси y, а Н – угол наклона прямой к оси х.

Рис. 4. Вид функции (R/S)n = c*nHдля ряда состоящего из случайных событий

На рис. 4 нанесены точки, полученные моделированием и степенная линия тренда, построенная Excel-ем самостоятельно. Видно, что с близко к единице (1,0767), а Н – к 0,5 (0,5124). К сожалению, ожидаемое для независимых событий Н = 0,5 у меня не получилось (рис. 5). Насколько отклонение в 0,03–0,04 значимо, для меня осталось невыясненным. Я даже решил проверить Excel-евский генератор случайных чисел (рис. 6). Но отклонений от ожидаемого среднего (нуля) не обнаружил. Либо в модели заложена какая-то неточность, либо генератор обладает долговременной памятью (!), либо 0,04 не является значимым отклонением от ожидаемого значения в Н=0,5.

Рис. 5. Вариабельность эмпирически полученного показатель Херста Н для временного ряда из независимых событий

Рис. 6. Проверка генератора случайных чисел

Вооруженные теорией, проведем теперь R/S-анализ курса доллара (см. также Excel-файл R-S-анализ курса доллара). Все 4238 значений курса доллара за период с 1 января 1992 по 18 октября 2011 года я разбил сначала на интервалы по 10 значений, потом 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280. Последние значения, составляющие лишь часть интервала, я отбросил. Далее для того, чтобы отбросить не слишком много значений для длинных рядов – 640 и 1280 – я уменьшил длину этих рядов до 600 и 1050, соответственно. Проведя описанные выше в уравнениях (1) – (7) преобразования, я получил функцию (R/S)n = f(n) следующего вида:

Рис. 7. Вид функции (R/S)n = c*nHдля курса доллара

Что можно сказать? Во-первых, точки идеально ложатся на прямую. Величина достоверности аппроксимации R2 = 0,9997 даже выше, чем для модельного ряда (рис. 4) R2 = 0,9951. Во-вторых, показатель Херста Н = 0,983, что существенно больше 0,5 для случайного блуждания. Очень красивый результат! Но что с ним делать? Можно ли найти ему практическое применение? Как и в первом своем исследовании поведения курса доллара ответов у меня нет. 🙁 Надеюсь, что пока нет…

Комментарии: 9 комментариев

Очень грустная картина, которую с «завидной» переодичностью наблюдал в бытность активного «прикладывания» математики за гос. счет в советские времена.
Сначала следует постановка задачи, а потом уже она решается. У Вас … полная каша в голове.

Сергей, я провел второй в своей жизни R/S-анализ, и конечно же не буду утверждать, что являюсь специалистом в этой области. Но… критику Вашу не принимаю, поскольку она голословна. Вы обсуждаете не материал заметки, а меня. Укажите на конкретные ошибки в изложении!

Уважаемый Baguzin! Я думаю, что Вы проделали большую работу. Никакой каши в голове нет! Я занималась фрактальным анализом еще 2001 году, когда никакой информации о нем как сейчас, не было. У меня в руках оказалась только монография Петерса и больше ничего. Я в своей диссертации затронула R/Sо, но применительно к другим временным рядам (ВР), а именно к ВР урожайности культур в зонах рискового земледелия. Решила перенести от активов к ВР урожайности посмотреть, что он мне выдаст! В то время R/S воспринимали тяжело…но я выдержала давление со всех сторон. Алгоритм R/S-анализа Херста мы чуть изменили и назвали «алгоритмом последовательного R/S-анализа». Показатель Херста вычисляли в каждой точке ВР, а затем определяли глубину памяти, представляя ее в виде нечеткого множества. Если Вы заинтересуетесь, я рекомендую посмотреть дис. раб. «Двухуровневое моделирование эволюционных процессов в условиях неопределенности». считаю R/S- сильным интсрументом для анализа ВР.

Предполагаю, что Сегрей говорит о том, что не хватает гипотезы, которую проверяют с помощью проведеных вами вычислений. Вобщем о том же о чем вы подытожили — «что все это значит»?

Хех, как я попал в этот некропост? ):

Уважаемый Baguzin! Данное значение показателя (близкое к 1) означает трендовость обьекта анализа. То есть если рубль, условно говоря, теряет в цене несколько копеек, то с большой вероятностью он продолжит движение в ту же сторону.

….Но отклонений от ожидаемого среднего (нуля) не обнаружил. Либо в модели заложена какая-то неточность, либо генератор обладает долговременной памятью (!), либо 0,04 не является значимым отклонением от ожидаемого значения в Н=0,5…
генератор excel для случайных чисел обладает долговременной памятью(скажем так это его конструктивная особенность) это следует учитывать при моделировании процессов.
Р.S Шноль, Симон Эльевич столкнулся с такой же проблемой.

Добрый день!
Вероятно, Вы использовали Цену — как переменную. Если использовать приращения Цены — результаты должны быть другие.

Здравствуйте! Очень понравилась интерпретация R/S анализа. Разобрался в вашей методике, в случайных числах — все понятно (правда у компьютера, получается, есть память), а вот с курсом валют я с вами не соглашусь. Вы используете абсолютные величины курса, а правильно использовать догарифмы (Винс рекомендует Ln, глава «анализ временных рядов»). Если бы мы исследовали процесс, в котором используестя не дневная свеча, а абсолютное изменение, предположим на 100pips, тогда да, методика бы подошла, но мы по оси х откладывем время и предполагаем, что оно пропорционально степенной Энштейновской зависимости (1/2). То есть, если бы мы смоделировали процесс так — цена выросла/упала на 100pis, ставим 1 по х, цена выросла/упала на 100pis ставим 2 по х и т.д, процесс был бы схож с процессом в компьютере с вероятностью 50/50. Отсюда у вас завышен результат по Херсту, (если бы у USD/RUB был бы реально такой херст, только им бы и торговал). Вы можете смоделировать розовый шум с полученным вами херстом, начертить график и визуально он будет сильно отличаться от исследуемого инструмента.
На самом деле методик расчета показателя херста несколько, но просто поражают «изобретения» в частности Эрика Наймана, там вообще получаются заоблачные показатели, (этого автора следует вообще включить в список «как неправильно интерпретировать рынок», если такие гниги печают значит это кому то нужно). Очень правильно и полезно исследуется рынки в диссертационной работе Теплова.


Прокомментировать