Использование метода Монте-Карло для расчета риска

Рубрика: 7. Полезняшки Excel

Не так давно я прочитал замечательную книгу Дугласа Хаббарда Как измерить всё, что угодно. Оценка стоимости нематериального в бизнесе. В кратком конспекте книги я обещал, что одному из разделов – Оценка риска: введение в моделирование методом Монте-Карло – я посвящу отдельную заметку. Да всё как-то не складывалось. И вот недавно я стал более внимательно изучать методы управления валютными рисками. В материалах, посвященных этой тематике, часто упоминается моделирование методом Монте-Карло. Так что обещанный материал перед вами.

* * *

Приведу простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel.

Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув точки безубыточности, вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Скачать заметку в формате Word, примеры в формате Excel

Ваши калиброванные специалисты [1] по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства:

экономия на материально-техническом обслуживании (maintenance savings, MS) от 10 до 20 дол. на единицу продукции
экономия на трудозатратах (labour savings, LS) от «–2» до 8 дол. на единицу продукции
экономия на сырье и материалах (raw materials savings, RMS) от 3 до 9 дол. на единицу продукции
объем производства (production level, PL) от 15 000 до 35 000 единиц продукции в год
стоимость годовой аренды (точка безубыточности — breakeven) 400 000 дол.

Годовая экономия составит: (MS + LS + RMS) х PL

Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т.д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.

Если мы возьмем медиану (среднее) каждого из интервалов значений, то получим годовую экономию: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)

Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте – существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте, прежде всего, определим, что такое риск в данном контексте. Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них – с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск – представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. – это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?

Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.

Моделирование методом Монте-Карло – превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.

Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90%-ный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90%-ного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).

Вот как выглядит нормальное распределение:

Рис.1. Нормальное распределение. По оси абсцисс число сигм.

Особенности:

  • значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;
  • распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);
  • «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией [2] =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная), где
Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90%-ному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.

В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Начнем, например, с MS – экономии на материально-техническом обслуживании. Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл), где
Вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
Среднее – среднее арифметическое распределения;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29.

Для параметра MS формула имеет вид: =НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29), где
СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;
15 – среднее арифметическое диапазона MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 – стандартное отклонение; напомню, что смысл стандартного отклонения в следующем: в интервал 3,29*Стандарт_откл, расположенный симметрично относительного среднего, попадает 90% всех значений случайной величины (в нашем случае MS)

Распределение величины экономии на материально-техническом обслуживании для 100 случайных нормально распределенных значений:

Рис. 2. Вероятность распределения MS по диапазонам значений; о том, как построить такое распределение с помощью сводной таблицы см. Вычисления в сводной таблице (в области значений) в Excel 2013

Поскольку мы использовали «лишь» 100 случайных значений, распределение получилось не таким уж и симметричным. Тем не менее, около 90% значений попали в диапазон экономии на MS от 10 до 20 долл. (если быть точным, то 91%).

Построим таблицу на основе доверительных интервалов параметров MS, LS, RMS и PL (рис. 3). Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 долл. Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Создадим в Excel 10 000 строк-сценариев.

Рис. 3. Расчет сценариев методом Монте-Карло в Excel

Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать, например, сводную таблицу, которая позволяет подсчитать число сценариев в каждом 100-тысячном диапазоне. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (рис. 4). Этот график показывает, какая доля из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, около 3% сценариев дадут годовую экономию более 1М дол.

Рис. 4. Распределение общей экономии по диапазонам значений. По оси абсцисс отложены 100-тысячные диапазоны размера экономии, а по оси ординат доля сценариев, приходящихся на указанный диапазон

Из всех полученных значений годовой экономии примерно 15% будут меньше 400К  дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 15%. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т.д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100К дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска – мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это.

В некоторых ситуациях можно пойти более коротким путем. Если все распределения значений, с которыми мы работаем, будут нормальными и нам надо просто сложить интервалы этих значений (например, интервалы затрат и выгод) или вычесть их друг из друга, то можно обойтись и без моделирования методом Монте-Карло. Когда необходимо суммировать три вида экономии из нашего примера, следует провести простой расчет. Чтобы получить искомый интервал, используйте шесть шагов, перечисленных ниже:

1)      вычтите среднее значение каждого интервала значений из его верхней границы; для экономии на материально-техническом обслуживании 20 – 15 = 5 (дол.), для экономии на трудозатратах – 5 дол. и для экономии на сырье и материалах – 3 дол.;

2)      возведите в квадрат результаты первого шага 52 = 25 (дол.) и т.д.;

3)      суммируйте результаты второго шага 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);

4)      извлеките квадратный корень из полученной суммы: получится 7,7 дол.;

5)      сложите все средние значения: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);

6)      прибавьте к сумме средних значений результат шага 4 и получите верхнюю границу диапазона: 24 + 7,7 = 31,7 дол.;  вычтите из суммы средних значений результат шага 4 и получите нижнюю границу диапазона 24 – 7,7 = 16,3 дол.

Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для суммы трех 90%-ных доверительных интервалов по каждому виду экономии составляет 16,3–31,7 дол.

Мы использовали следующее свойство: размах суммарного интервала равен квадратному корню из суммы квадратов размахов отдельных интервалов [3].

Иногда нечто похожее делают, суммируя все «оптимистические» значения верхней границы и «пессимистические» значения нижней границы интервала. В данном случае мы получили бы на основе наших трех 90%-ных доверительных интервалов суммарный интервал 11–37 дол. Этот интервал несколько шире, чем 16,3–31,7 дол. Когда такие расчеты выполняются при обосновании проекта с десятками переменных, расширение интервала становится чрезмерным, чтобы его игнорировать. Брать самые «оптимистические» значения для верхней границы и «пессимистические» для нижней – все равно что думать: бросив несколько игральных костей, мы во всех случаях получим только «1» или только «6». На самом же деле выпадет некое сочетание низких и высоких значений. Чрезмерное расширение интервала – распространенная ошибка, которая, несомненно, часто приводит к принятию необоснованных решений. В то же время описанный мной простой метод прекрасно работает, когда у нас есть несколько 90%-ных доверительных интервалов, которые необходимо суммировать.

Однако наша цель не только суммировать интервалы, но и умножить их на объем производства, значения которого также даны в виде диапазона. Простой метод суммирования годится только для вычитания или сложения интервалов значений.

Моделирование методом Монте-Карло требуется и тогда, когда не все распределения являются нормальными. Хотя другие типы распределений не входят в предмет данной книги, упомянем о двух из них — равномерном и бинарном (рис. 5, 6).

Рис. 5. Равномерное распределение (не идеальное, а построенное с помощью функции СЛЧИС в Excel)

Особенности:

  • вероятность всех значений одинакова;
  • распределение симметрично, без перекосов; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами интервала;
  • значения за пределами интервала невозможны.

Для построения данного распределения в Excel была использована формула: СЛЧИС()*(UB – LB) + LB, где UB – верхняя граница; LB – нижняя граница; с последующим разбиением всех значений на диапазоны с помощью сводной таблицы.

Рис. 6. Бинарное распределение (распределение Бернулли)

Особенности:

  • возможны только два значения;
  • существует единственная вероятность одного значения (в данном случае 60%); вероятность другого значения равна единице минус вероятность первого значения

Для построения случайного распределения данного вида в Excel использовалась функция: =ЕСЛИ(СЛЧИС()<Р;1;0), где Р — вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Метод впервые использовал математик Станислав Улам (см. Станислав Улам. Приключения математика

* * *

Дуглас Хаббард далее перечисляет несколько программ, предназначенных для моделирования методом Монте-Карло. Среди них и Crystal Ball компании Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо. Книга на английском языке была издана в 2007 г. Сейчас же эта программа принадлежит уже Oracle. Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. О ее возможностях мы и погорим в одной из следующих заметок.


[1] См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда Как измерить всё, что угодно. Оценка стоимости нематериального в бизнесе

[2] См. подробнее «Нормальное распределение. Построение графика в Excel. Концепция шести сигм»

[3] Здесь Дуглас Хаббард под размахом понимает разность между верхней границей 90%-ного доверительного интервала и средним значением этого интервала (или между средним значением и нижней границей, так как распределение симметрично). Обычно под размахом понимают разность между верхней и нижней границами.

Комментарии: 48 комментариев

Спасибо за статью, очень познавательно!
Только вот я не совсем понял откуда мы взяли 3.29?
«…рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.»
И еще — почему в приложенном Excel-файле для построения рисунка 1 был выбран шаг Х = 0,2?

Дмитрий, на рис. 1 видно, что верхушка колокола приходится на ноль по оси абсцисс. Левая граница 90%-ного интервала приходится приблизительно на -1,7, а правая на +1,7. Сумма этих отсечек на оси Х и дает, если сделать точные расчеты, 3,29. Еще раз, 3,29 — длина отрезка 90%-ного доверительного интервала по оси Х.
Что касается шага 0,2, то он был выбран мною произвольно. Я ориентировался на то, чтобы график получился сглаженным и красивым… 🙂 См. подробнее «Нормальное распределение. Построение графика в Excel. Концепция шести сигм», http://baguzin.ru/wp/?p=1170

Какие точные расчеты нужно произвести, чтобы получить стандартное отклонение 3,29? Нашёл этот момент в книге указываемого автора, там то же самое? ничего не поясняется.

Роман, 3,29 — не является стандартным отклонением. Это расстояние по оси х от нижней до верхней границы интервала, в который попадают 90% значений случайной величины. Т.е., имеется колоколообразная кривая с математическим ожиданием μ=0. Вопрос: определите нижнюю и верхнюю границы интервала с центром в математическом ожидании, который содержит 90% значений случайной величины. Ответ: -1,645 и + 1,645. А расстояние между границами =1,645*2 = 3,29. Для точного вычисления можно воспользоваться формулой в Excel =НОРМ.СТ.ОБР(95%)-НОРМ.СТ.ОБР(5%). Подробнее см. заметку Нормальное распределение. В частности пример 5 и рис. 16, ровно про Ваш вопрос.

Благодарю за разъяснение. Боюсь показаться не компетентным, но после того, как я задал Вам вопрос, я решил самостоятельно рассмотреть его в учебнике Кремера ТВМС. Признаться, как таковую мат. статистику не изучал. Открыв главу про нормальное распределение нашёл ответы на остальные вопросы, рассмотренные здесь Вами, и про вероятность 99,73%, и про правило 3 сигм. Так вот, прежде чем, Вы ответили, я попробовал рассчитать значение 3,29 по таблице функции Лапласа, и у меня примерно получилось 1,645, правильно ли я поступил или совершил ошибку и так делать нельзя?

Роман, если вы заглянете в help функции НОРМ.СТ.РАСП, то увидите, что она основана на функции Лапласа. Что касается таблиц… На мой взгляд с появлением Excel, их роль устарела. Не будете же вы использовать таблицы Брадиса для вычисления sin!? 🙂

Спасибо за статью, Сергей Викторович!
Скажите пожалуйста, а не доводилось ли Вам применять метод Монте-Карло в страховании, и, если да,-не могли бы Вы привести наглядный пример.

Нет, Ангелина, не приходилось применять в страховании. Любопытно, что Вы не первая меня спрашиваете об этом… 🙂 Наверное, метод широко применяется в страховании, так как в этой сфере очень точные и обширные данные, которые удобно анализировать…

Здравствуйте! Очень полезный материал! пытаюсь построить сама для своей задачи и возникает вопрос: 90% доверительный интервал почему берется от -10 до 10? и второе, при построении сводной таблицы на этом же листе значения меняются, в связи с чем это возникает? спасибо заранее))))

Amina, Вы спрашиваете:
>90% доверительный интервал почему берется от -10 до 10?
Если это вопрос по рисунку 1, то от -10 до 10 это не 90%-ный доверительный интервал, а область построения графика. Реально я график построил на диапазоне от -3σ до +3σ. А 90-ный доверительный интервал покрывает область по оси абсцисс в диапазоне от ≈ -1,65σ до +1,65σ

>при построении сводной таблицы на этом же листе значения меняются, в связи с чем это возникает?
Это связано с тем, что я использую в качестве исходные данных не числа, а формулы, генерирующие случайные числа; при каждом изменении на листе, формулы пересчитываются и выдают новые случайные числа 🙂

Почему Вы на первом листе, при построение графика используйте интервал от -10 до 10 — он имеет какое-то отношение к задаче?
P.S Всю голову сломал

Миша, это произвольный диапазон. Какой-то же интервал я должен был выбрать, чтобы построить график!? Вот и выбрал от -10 до 10. А потом непосредственно на графике увидел, что он слишком широк, и график получается некрасивым. Поэтому сократил диапазон до пределов от -3 до 3. 🙂

Да, вопрос почему выбрана такая область распределения и как она выбирается? И по таблице тоже вопрос: вы в сводную таблицу добавляете фильтры, а потом из-за формул не будет искажения? И спасибо за предыдущий ответ 🙂

Amina, 99,73% всех точек нормально распределенной случайной величины попадает в ±3σ-окрестность среднего значения. Поэтому для большинства применений диапазона от -3 до +3 вполне достаточно…
Про сводную, фильтры и формулы, извините, не понял…

Если возможно, объясните как составлять сводную таблицу. Никак не получается.

Alina, рекомендую начать с Создание сводной таблицы

Благодарю, Сергей Викторович! во свсем разобралась))!! и еще раз спасибо за статью.

Добрый день!
Спасибо большое за статью.
Подскажите, пожалуйста, почему, когда мы используем функцию НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29) для расчета стандартного отклонения используется (20-10), а не средняя величина (15)?

Наталья, в функцию НОРМОБР() нужно подставить стандартное отклонение, которое мы вычисляем по формуле:
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29. Эта формула приведена в заметке чуть выше того места, где описан, приведенный Вами расчет.
Откуда взялась эта формула? Она основана на свойстве нормального распределения, для которого в пределы 90%-ного доверительного интервала попадает 3,29σ. Про коэффициент 3,29 почитайте комментарии к заметке. Похоже, это место вызывает затруднения…
Если объяснил непонятно, пишите))

Да я поняла. Спасибо. Вопрос был в выводе формулы, но решив систему уровнений
10=15-1,64σ
20=15+1,64σ
Действительно приходим к формуле
σ=(20-10)/3.29

Но у меня возник еще один вопрос:
Проведя серию одинаковых вычислений (нормобр с параметрами, указанными выше; по 100 шт), а затем посмотрев результаты распределения указанных величин, я получаю, что % сгенерированных значений в пределах от 10 -20 у меня варьируется от 87 до 97%.
Вопрос — являются ли данные вычисления корректными? (ведь задача была установлена, как получение случайного набора значений, так чтобы 90% из них лежали в пределах от 10 до 20). Я хочу понять насколько корректна моя погрешность и от чего она зависит?

Не беспокойтесь, функция НОРМОБР(), работает, как часы)). Но, Вы правы в другом: случайная величина на то и случайная, что она не будет в точности отвечать априорной вероятности. Например, если Вы смоделируете бросание монеты, или шестигранного кубика, Вы не получите в точности 1/2 или 1/6.
Вы затронули очень интересную тему. В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности. Например, число значений в пределах от 10 до 20. Во всей генеральной совокупности в этот диапазон попадут 90% значений, а в каждой конкретной выборке таких значений может быть, как меньше, так и больше. Для того, чтобы дополнить ваши данные, воспользуйтесь интервальными оценками — рассчитайте доверительный интервал. Подробнее см. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности

Спасибо )

Сергей Викторович, спасибо за доступное описание! Терзают сомнения по поводу закона распределения: зачастую он ведь неизвестен, а использовать везде нормальное распределение – заведомо обманываться. Есть ли какие-то рекомендации по этому поводу?

Рекомендаций я не встречал. На мой взгляд, если ничего о поведении влияющих переменных неизвестно, лучше использовать именно нормальное распределение, как наиболее часто встречающееся. Кроме того, учтите, что многие иные распределения (бета-, t-, хи-квадрат…) хорошо аппроксимируются нормальным распределением (при определенных условиях). Если Вас интересуют виды распределений, рекомендую почитать отдельные разделы из Левин. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel

Спасибо, поищу Левина.

Сергей Викторович, не могу понять, как вы в сводной таблице сделали группировку по интервалам 20. Поясните пожалуйста, спасибо.

Метод Монте-Карло реализован в программе EVA — оценка экономической эффективности нефтегазовых месторождений. Подробная презентация и ролик о программе доступны на сайте разработчика — http://eds-plus.ru/technology.html

Уточняю ссылку — http://www.eds-plus.ru/eva.html
Теперь там доступна бесплатная демо-версия.

Отдельный сайт программы — http://www.evarisks.com

Сергей Викторович, добрый день.
Каким образом Вы смогли определить это:
«Дальнейший анализ показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100К дол.» ?
Провожу анализ Монте-Карло для подсчета риска срывов срока строительства завода (т.е. то временнОе значение, на которое вероятнее всего будет превышен срок строительства).
Еще вопрос: Вы писали выше «… этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным»
Если мы рассмотрим пример посложнее, т.е., если мы включим несколько факторов, которые смогут оказать влияние на сроки реализации проекта. Например, погодные условия, поломка техники, текучка кадров и т.д. (факторов, которые оказывают влияние на срыв сроков строительства, нашел уже порядка 60). Каким образом их можно учесть в формуле?

Алексей, в начале заметки говорится «Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол.», а вероятность попасть в два первых диапазона: "<200К"; и "200-300" (см. рис. 4) составляет 4%. Т.е., с вероятностью 4% доход не превысит 300К, а убытки составят более 100К.
Я никогда не использовал анализ для большого числа факторов, но думаю, что в любом случае будут доминировать несколько факторов, а остальные будут играть второстепенную роль. Если Ваши данные не секретные, можете прислать результаты анализа, опубликую на сайте в виде дополнения или отдельного материала.

Сергей Викторович, написал Вам на baguzin@baguzin.ru и на s_bag@mail.ru письмо и прикрепил документы. Вам дошли они?

Алексей, письмо с данными получил, но… мы неверно поняли друг друга. Я имел ввиду готовую публикацию от Вас. Анализировать же Ваши расчеты не готов… Извините.

Было много написано комментариев насчет числа 3,29. Хотелось бы тоже задать вопрос: а почему все-таки 3,29? Потому что если считать по формуле НОРМ.СТ.ОБР (0,9), т.е. находить обратное значение стандартного нормального распределения (сколько сигма с 1 стороны берем), то получаем значение 1,28. 2-стороннее значение соответственно будет 2,56 (примерно).

3,29 же получается в случае расчета формулы НОРМ.СТ.ОБР(0,95) ==> 95 % вероятность.

На сайте EXCEL в справке этой функции сказано, что она «Для заданного значения вероятности функция НОРМ.СТ.ОБР находит значение z, при котором НОРМ.СТ.РАСП(z) = вероятность» (цитата).

В итоге — все таки 2,56 будет или 3,29?

Заранее спасибо за ответ!

Александр, еще раз. Обратитесь к рис. 1. На нем изображена колоколообразная кривая. Наша цель — определить ширину, на которой размещается 90 процентов площади кривой. Поскольку нормированная кривая симметрична относительно х = 0, то левее левой границы останется 5% площади кривой, и правее правой границы — также останется 5% площади кривой. Поэтому ширина кривой, соответствующая 90%-ному доверительному интервалу =НОРМ.СТ.ОБР(0,95)-НОРМ.СТ.ОБР(0,05) = 3,2897

Ааа, понял теперь! Спасибо!

Я прав, кстати, что если брать 95 % вероятность, то должно быть НОРМ.СТ.ОБР(0,975) — НОРМ.СТ.ОБР(0,025) = 3,92?

Спасибо за материал! Очень помогла в квалификационной работе!

Добрый день, с немалым любопытсвом читал статью.
Кстати допущения в инвестициях (во всяком случае в реальный сектор, т.к. другими не занимаюсь) это явление без которого невозможно было бы их осуществить. Другое дело какой риск принимает на себя инвестор.
Пытаюсь применить данный метод и отразить его с показателями эффективности проекта, но никак задача не поддаётся решению в связи с значительным объемом переменных.

Сергей Викторович, хотел задать еще один вопрос: случайно не знаете, а каким образом можно промоделировать треугольное или показательное распределение в Excel?

Заранее спасибо!

Александр, если под словами «промоделировать» вы имеете ввиду сгененировать массив случайных чисел, отвечающий треугольному или степенному распределению, то вам может помочь генератор случайных чисел, содержащийся в надстройке Excel «Пакет анализы». У меня есть заметка на эту тему — Выборочные распределения, см. раздел «Генерирование выборок в Excel»

А как с помощью метода Монте-Карло оценить вероятность возникновения типовых рисков концессионного соглашения и их стоимостные эквиваленты для публичного и частного участников . Перечень этих рисков может достигать величины 50-60 видов рисков , и как их связать с количественными показателями инвестиционного проекта , реализуемого в рамках концессионного соглашения ?

Вова, читай труды Нассима Талеба, и иллюзия, что риски новых проектов можно оценить количественно, скорее всего рассеется)) Количественной оценке поддаются только типичные риски, повторяющиеся множество раз. Например, в страховании.

Уважаемый Сергей Викторович, здравствуйте.

Благодарю за очень интересный материал.

Пожалуйста, подскажите по 90%-доверительному интервалу: почему именно 90%? не 80%, не 99% или 100%?

Заранее спасибо за ответ.

Алексей, это очень хороший вопрос)) Фактически, на нем строится основная линия критики статистического вывода, родоначальником которого является Рональд Фишер (см., например, Фишер. Статистический вывод). Вы правы, выбор доверительного интервала является произвольным — не имеет под собой научной базы. Тем не менее, именно классический статистический вывод является основным в преподавании предмета. И лишь в последнее время, всё больше заявляет о себе байесовский подход.

Большое спасибо за отличный материал!
Великолепно объясняете, лаконично и точно.


Прокомментировать